WWW.FORUM-MATEMATIKA.BLOGSPOT.COM: 9 Sep 2009

Rabu, 09 September 2009

Keajaiban Bilangan Matematika

Pernahkah Kita berpikir tentang susunan bilangan berikut?..
Memang gak terlalu penting sih…
tapi…gak dinyana-nyana ajaib banget.
Bukan kebetulan, tapi itulah sebenarnya matematika. Banyak hal yang akan kita dapatkan kalau kita mau mempelajari matematika

Satu
0 x 9 + 0 = 0
1 x 9 + 1 = 10
12 x 9 + 2 = 110
123 x 9 + 3 = 1110
1234 x 9 + 4 = 11110
12345 x 9 + 5 = 111110
123456 x 9 + 6 = 1111110
1234567 x 9 + 7 = 11111110
12345678 x 9 + 8 = 111111110
123456789 x 9 + 9 = 1111111110
Ini belum apa-apa…
Perhatikan juga ini

Dua
1 x 1 = 1
11 x 11 = 121
111 x 111 = 12321
1111 x 1111 = 1234321
11111 x 11111 = 123454321
111111 x 111111 = 12345654321
1111111 x 1111111 = 1234567654321
11111111 x 11111111 = 123456787654321
111111111 x 111111111 = 12345678987654321

Tiga
1 x 8 + 1 = 9
12 x 8 + 2 = 98
123 x 8 + 3 = 987
1234 x 8 + 4 = 9876
12345 x 8 + 5 = 98765
123456 x 8 + 6 = 987654
1234567 x 8 + 7 = 9876543
12345678 x 8 + 8 = 98765432
123456789 x 8 + 9 = 987654321

Empat
1 x 18 + 1 = 19
12 x 18 + 2 = 218
123 x 18 + 3 = 2217
1234 x 18 + 4 = 22216
12345 x 18 + 5 = 222215
123456 x 18 + 6 = 2222214
1234567 x 18 + 7 = 22222213
12345678 x 18 + 8 = 222222212
123456789 x 18 + 9 = 2222222211

Lima
123456789 + 987654321 = 1111111110
1 x 142857 = 142857 (angka sama)
2 x 142857 = 285714 (angka sama beda urutan )
3 x 142857 = 428571 (angka sama beda urutan)
4 x 142857 = 571428 (angka sama beda urutan )
5 x 142857 = 714285 (angka sama beda urutan)
6 x 142857 = 857142 (angka sama beda urutan)
7 x 142857 = 999999 ( waw……suatu hasil yang Fantastis )

Enam
bilangan sembarang jika dikalikan 9 maka jumlah hasilnya = 9
kita buktikan…..
1 x 9 = 9
2 x 9 = 18, jumlah 1 + 8 = 9
3 x 9 = 27, jumlah 2 + 7 = 9
4 x 9 = 36, jumlah 3 + 6 = 9
dst. sampai tak terhingga …..

Tujuh
22 x 9 = 198,
cara cepatnya 2 x 9 = 18, lalu selipkan angka 9 ditengah, jadi 198….okbuktikan sendiri cara cepatnya berikut ini…
33 x 9 = 297, cara cepat 3 x 9 = 27, selipkan 9 ditengah
44 x 9 = 396
55 x 9 = 495
66 x 9 = 594
77 x 9 = 693
88 x 9 = 792
99 x 9 = 891 lalu bagaimana dengan 3 angka kembar yach ….???
sama aja tuch tinggal selipkan 99 ditengahnya….
gak percaya ….kita buktikan yach…
222 x 9 = 1998, cara cepat 2 x 9= 18, selipkan 99 ditengah
333 x 9 = 2997
444 x 9 = 3996
555 x 9 = 4995

Ada yang nemu lainnya lagi…..???
Hebat kan Matematika???…

PERBEDAAN ANGKA DAN BILANGAN

Sebuah angka digunakan untuk melambangkan bilangan, suatu entitas abstrak dalam ilmu matematika. Tetapi bagi orang-orang awam, angka dan bilangan seringkali dianggap dua entitas yang sama. Mereka pun umumnya menganggap angka dan bilangan sebagai bagian dari matematika.
Memang bahasa Indonesia belum cukup baku sebagai alat komunikasi dalam ilmu dan sains, sehingga belum ada konsesus resmi bahwa ‘angka’ dan ‘bilangan’ melambangkan dua hal yang sangat berbeda. Demikian pula, kedua kata angka dan bilangan masih sering dipertukarkan dengan kata nomor.
Kata nomor biasanya menunjuk satu atau lebih angka yang melambangkan sebuah bilangan bulat dalam suatu barisan bilangan-bilangan bulat yg berurutan. Misalnya kata ‘nomor 3′ menunjuk salah satu posisi urutan dalam barisan bilangan-bilangan 1, 2, 3, 4, …, dst. Jadi kata nomor sangat erat terkait dengan pengertian ‘urutan’.
Arti kata ‘angka’ lebih mendekati arti kata ‘digit’ dalam bahasa Inggris. Nampaknya belum ada kata dalam bahasa Indonesia yang merupakan terjemahan secara tepat dari ‘digit’. Dalam hal ini, sebuah atau beberapa angka lebih berperan sebagai lambang tertulis atau terketik dari sebuah bilangan. Sesuai dengan arti kata ‘digit’, lebih baik pengertian angka dibakukan dengan batasan agar hanya ada sepuluh angka yang berbeda: 0, 1, 2 …, 9.
Untuk memperjelas pengertian angka seperti diuraikan dalam paragraf terakhir, berikut diberikan dua contoh penggunaannya.
“Bilangan sepuluh ditulis dengan dua buah angka (double digits), yaitu angka 1 dan angka 0.”,
“Inflasi di Indonesia mencapai 3 angka (three digits)” (Maksudnya, inflasi di Indonesia sudah mencapai paling sedikit 100%, sebab bilangan 100 adalah bilangan dengan nilai terendah yang bisa ditulis dengan tiga angka).
Dalam sistem bilangan biner (binary number system), yaitu sistem bilangan basis 2, hanya digunakan dua angka: 0 dan 1, untuk menyatakan sembarang bilangan bulat. Misalnya, deretan tiga angka 101 dalam sistem biner melambangkan bilangan 3 dalam sistem bilangan basis 10.
Tanpa penjelasan lebih jauh, kata ‘bilangan’ di sini selalu diartikan bilangan dalam sistem basis 10.

Jenis bilangan-bilangan Sederhana

Ada berbagai jenis bilangan. Bilangan-bilangan yang paling dikenal adalah bilangan bulat 0, 1, -1, 2, -2, … dan bilangan-bilangan asli 1, 2, 3, …, keduanya sering digunakan untuk berhitung dalam aritmatika. Himpunan semua bilangan bulat dalam buku-buku teks aljabar biasanya dinyatakan dengan lambang Z dan sedangkan himpunan semua bilangan asli biasanya dinyatakan dengan lambang N.
Setiap bentuk rasio p/q antara dua bilangan bulat p dan bilangan bulat tak nol q disebut bilangan rasional atau pecahan. Himpunan semua bilangan rasional ditandai dengan Q.

About Maria Gaetana Agnesi

Maria Gaetana Agnesi

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas

Langsung ke: navigasi, cari

Maria Gaetana Agnesi

Maria Gaetana Agnesi (1718-1799) adalah anak tertua dari 21 bersaudara, ia dilahirkan dalam keluarga Italia kaya dan terpelajar dan mempunyai ayah seorang matematikawan. Ia menguasai bahasa latin, bahasa Yunani, bahasa-bahasa Yahudi dan beberapa bahasa lainnya dalam usia 9 tahun. Pada usia 20 tahun ia memulai sebuah karyanya yang terpenting, sebuah buku ajar kalkulus. Untuk masanya, kejelasannya sungguh-sungguh mengagumkan dan merupakan buku ajar kalkulus luas yang pertama sejak karya dini dari I'Hospital. Buku itu memberikan banyak kehormatan termasuk pengakuan dari Kaisar Maria Theresa dan Paus Benediktus XIV.

Nama Agnesi menguasai suatu tempat dalam kepustakaan matematika melalui suatu sumbangan kecil Maria yakni pembahasannya tentang kurva yang dikenal sebagai versiera, yang berasal dari bahasa latin vertere yang artinya membalik. Kurva tersebut dikenal sebagai sihir dari Agnesi karena versiera dalam bahasa Italia berarti Iblis betina.

Pada peringatan seratus tahun meninggalnya, kota Milan menghormati Agnesi dengan memberi nama sebuah jalan atas namanya. Sebuah batu pertama di bagian muka gedung Luogo Pio bertuliskan prasasti yang isinya "terpelajar dalam matematika, keagungan Italia dan abadnya".

Kutipan

Seorang wanita yang cakap dalam berbagai hal terkenal sebagai matematikawan, ahli bahasa, ahli filsafat dan suka berjalan dala keadaan tidur (Howard Eves)

Langganan: Postingan (Atom)

Segi empat sama ajaib

Dalam matematik rekreasi, sebuah segi empat sama ajaib pada aturan n adalah suatu urutan bilangan n², biasanya integer berlainan, dalam sebuah segi empat sama, seperti mana yang bilangan n dalam semua barisan, semua column, dan kedua jumlah diagonal ke konstan sama.^[1] Sebuah segiempat sama ajaib biasa mengandungi integer dari 1 ke n². Istilah "segiempat sama ajaib" juga kadang-kadang digunakan untuk merujukkan pada mana-mana jenis pelbagai segi empat sama kata.

Segiempat sama ajaib bermuncul untuk semua aturan n ≥ 1 kecuali n = 2, walaupun kesnya n = 1 adalah trivial—ia mengandungi suatu sel tunggal yang mengandungi nombor 1. Kes bukan-trivial terkecil, ditunjuk di bawah, adalah aturan 3.

Jumlah konstant dalam setiap row, column dan diagonal digelar konstan ajaib atau jumlah ajaib, M. Konstan ajaib pada segiempat sama ajaib terpulang hanya pada n dan mempunyai nilai

$M(n) = \frac{n^3+n}{2}.$

Untuk segiempat sama ajaib biasa pada aturan n = 3, 4, 5, …, konstant ajaibnya adalah:

15, 34, 65, 111, 175, 260, …

Sejarah segiempat sama ajaib

Sasatera China melatar belakang seawal 650 SM menceritakan lagenda Lo Shu atau "scroll dari sungai Lo".^[2] Di China silam, ada suatu banjir yang besar. Rakyatnya cuba untuk memberikan pengorbanan ke dewa sungai pada salah satu sungai banjir, sungai Lo, untuk menyenangkan kemarahannya. Kemudian, di situ bermuncul dari seekor kura-kura dengan suatu angka/corak pada kulitnya; ada titik-titik bulat bilangan yang diatur dalam suatu corak petak sembilan tiga seperti mana jumlah bilangan dalam setiap baris, lajur dan diagonal yang sama; 15. Nombor ini juga sama dengan bilangan hari setiap 24 kitaran tahun matahari China. Corak ini, dalam sesetengah cara, telah digunakan oleh orang-orang yang mengawal sungai itu.

4	9	2
3	5	7
8	1	6

The Lo Shu Square, as the magic square on the turtle shell is called, is the unique normal magic square of order three in which 1 is at the bottom and 2 is in the upper right corner. Every normal magic square of order three is obtained from the Lo Shu by rotation or reflection.

The Square of Lo Shu is also referred to as the Magic Square of Saturn or Cronos. Its numerical value is obtained from the workings of the I Ching when the Trigrams are placed in an order given in the first river map, the Ho Tu or Yellow River. The Ho Tu produces 4 squares of Hexagrams 8 x 8 in its outer values of 1 to 6, 2 to 7, 3 to 8, and 4 to 9, and these outer squares can then be symmetrically added together to give an inner central square of 5 to 10. The central values of the Ho Tu are those of the Lo Shu (so they work together), since in the total value of 15 x 2 (light and dark) is found the number of years in the cycle of equinoctial precession (12,960 x 2 = 25,920). The Ho Tu produces a total of 40 light and 40 dark numbers called the days and nights (the alternations of light and dark), and a total of 8 x 8 x 8 Hexagrams whose opposite symmetrical addition equals 8640, therefore each value of a square is called a season as it equals 2160. 8640 is the number of hours in a 360-day year, and 2160 years equals an aeon (12 aeons = 25,920 yrs).

To validate the values contained in the 2 river maps (Ho Tu and Lo Shu) the I Ching provides numbers of Heaven and Earth that are the 'Original Trigrams' (father and mother) from 1 to 10. Heaven or a Trigram with all unbroken lines (light lines - yang) have odd numbers 1,3,5,7,9, and Earth a Trigram with all broken lines have even numbers 2,4,6,8,10. If each of the Trigram's lines is given a value by multiplying the numbers of Heaven and Earth, then the value of each line in Heaven 1 would be 1 + 2 + 3 = 6, and its partner in the Ho Tu of Earth 6 would be 6 + 12 + 18 = 36, these 2 'Original Trigrams' thereby produce 6 more Trigrams (or children in all their combinations) -- and when the sequences of Trigrams are placed at right angles to each other they produce an 8 x 8 square of Hexagrams (or cubes) that each have 6 lines of values. From this simple point the complex structure of the maths evolves as a hexadecimal progression, and it is the hexagon that is the link to the turtle or tortoise shell. In Chinese texts of the I Ching the moon is symbolic of water (darkness) whose transformations or changes create the light or fire - the dark value 6 creates the light when its number is increased by 1. This same principle can be found in ancient calendars such as the Egyptian, as the 360 day year of 8640 hrs was divided by 72 to produce the 5 extra days or 120 hours on which the gods were born. It takes 72 years for the heavens to move 1 degree through its Precession.

Arabia

Segiempat sama ajaib dikenali pada ahli matematik Arab, mungkin seawal abad ke-7, apabila orang Arab berhubung dengan budaya India atau Asia Selatan, dan mempelajari matematik dan astronomi India, termasuk aspek-aspek matematik berkombinasi. Ia juga telah dicadangkan bahawa gagasan tiba melalui China. Segiempat sama ajaib pertama pada aturan 5 dan 6 bermuncul di sebuah ensiklopedia dari Baghdad sekitar 983 M, Rasa'il Ihkwan al-Safa (Ensiklopedia Brethern of Purity); segiempat sama ajaib yang lebih mudah dikenali pada beberapa ahli matematik awal Arab.^[2]

Ahli matematik Arab Ahmad al-Buni, yang bekerja pada segiempat sama ajaib sewaktu 1200 M, menganggap ciri-ciri mistikal pada mereka, walaupun tiada rinci pada ciri-ciri sepatutnya ini dikenali. Ada juga rujukan pada kegunaan segiempat sama ajaib pada pengiraan astrologi, suatu amalan yang kelihatan berasal dari orang Arab.^[2]

India

Segiempat sama ajaib 3x3 telah digunakan sebagai sebahagian dari upacara di India sejak zaman vedic, dan berlanjut untuk digunakan untuk sampai ia tidak layak digunakan lagi. Suatu segiempat sama ajaib yang terkenal di India dapat dilihat di Khajuraho di kuil Jain Parshvanath. Ia bermula dari abad ke-10 ^[3].

7	12	1	14
2	13	8	11
16	3	10	5
9	6	15	4

Ini dirujukkan sebagai Chautisa Yantra, sejak setiap sub-segi empat sama berjumlah ke 34.

The Sagrada Família magic square

A magic square on the Sagrada Família church façade.

The Passion façade of the Sagrada Família church in Barcelona, designed by sculptor Josep Subirachs, features a 4×4 magic square:

The magic constant of the square is 33, the age of Jesus at the time of the Passion. Structurally, it is very similar to the Melancholia magic square, but it has had the numbers in four of the cells reduced by 1.

1	14	14	4
11	7	6	9
8	10	10	5
13	2	3	15

While having the same pattern of summation, this is not a normal magic square as above, as two numbers (10 and 14) are duplicated and two (12 and 16) are absent, failing the 1→n² rule.