WWW.FORUM-MATEMATIKA.BLOGSPOT.COM: 16 Des 2008

Selasa, 16 Desember 2008

Olimpiade Matematika Internasional

Olimpiade Matematika Internasional (OMI) adalah sebuah pertandingan matematika tahunan untuk siswa-siswa SMA. Ini adalah olimpiade sains internasional tertua.

OMI pertama diselenggarakan di Rumania pada 1959. Sejak itu, OMI telah diselenggarakan setiap tahun kecuali pada 1980. Sekitar 90 negara mengirimkan timnya yang terdiri atas (paling banyak) enam siswa masing-masing (ditambah seorang pemimpin tim, satu wakil pemimpin tim dan pengamat-pengamat). Tim-tim ini tidak semuanya diakui – semua angka hanya diberikan kepada peserta masing-masing. Para peserta harus berusia di bawah 20 tahun dan tidak boleh pernah menempuh pendidikan pasca-sekolah menengah. Sejauh memenuhi syarat-syarat ini, seorang peserta dapat ikut serta berapa kalipun dalam OMI.

Kertas tesnya terdiri atas enam problema, dengan masing-masing problema bernilai 7 angka. Jadi total nilainya 42. Ujian ini diselenggarakan dalamd ua hari berturut-turut; peserta diberi waktu empat setengah jam untuk memecahkan tiga problema setiap harinya. Problema-problema ini dipilih dari berbagai bidang matematika sekolah menengah, yang secara umum diklasifikasikan sebagai geometri, teori angka, aljabar, dan kombinatorika. Mereka tidak membutuhkan pengetahuan matematika yang lebih tinggi, dan pemecahan-pemecahannya singkat dan elegan. Namun untuk mendapatkan jawabannya dibutuhkan kecakapan dan kemampuan matematika luar biasa.

Masing-masing negara peserta, selain negara tuan rumah, boleh mengajukan usulan problema kepada Komite Pemilihan Problema, yang disediakan oleh negara tuan rumah, yang kemudian menyaringnya. Para pemimpin tim tiba di OMI beberapa hari lebih awal daripada para kontestan dan membentuk Dewan Juri OMI yang bertanggung jawab untuk semua keputusan resmi yang berkaitan dengan pertandingan itu, dimulai dengan memilih enam problema dari daftar saringan. Karena para pemimpin itu sudah mengetahui problema-problemanya sebelum para kontestan, mereka ditempatkan terpisah dari para kontestan hingga ujian yang kedua selesai. Para kontestan disertai ke OMI oleh wakil pemimpin mereka (dan mungkin juga oleh para pengamat).

Angka masing-masing negara disepakati antara pemimpin negara itu dan wakil pemimpinnya serta para koordinator yang disediakan oleh negara tuan rumah (pemimpin tim yang negaranya mengajukan problema dalam hal angka untuk negara tuan rumah), tunduk kepada keputusan Koordinator Kepala dan akhirnya pada Juri apabila pertikaian tidak dapat diselesaikan.

Hadiah

Peringkat para peserta ditetapkan berdasarkan nilai masing-masing.

* Jumlah keseluruhan medali yang diberikan sedekat mungkin tetapi tidak lebih dari setengah dari keseluruhan jumlah kontestan.
* Karena itu jumlah medali emas, perak dan perunggu dipilih dengan cara begitu rupa sehingga rasionya kira-kira 1:2:3.
* Para peserta yang tidak memenangi medali tetapi yang mencapai angka tujuh pada sekurang-kurangnya satu problema akan disebutkan dalam daftar mereka yang patut dipuji.

Beberapa hadiah diberikan untuk pemecahan yang sangat elegan atau yang melibatkan generalisasi yang baik dari suatu problema. Hal ini terakhir kali terjadi pada 2005, 1995 dan 1988, tetapi lebih sering terjadi hingga awal 1980-an.

Peraturan bahwa paling banyak setengah dari kontestan memenangi sebuah medali kadang-kadang dilanggar apabila pemberlakuannya menyebabkan jumlah medalinya menyimpang terlalu banyak dari setengah dari jumlah kontestan. Hal ini terakhir terjadi pada 2006 ketika pilihannya adalah memberikan sebuah medali kepada 188 atau 253 dari 498 kontestan.

OMI sekarang dan yang akan datang

* OMI ke-49 akan diselenggarakan di Granada, Spanyol pada 2008.
* OMI ke-50 akan diselenggarakan di Bremen, Jerman pada 2009.
* OMI ke-51 akan diselenggarakan di Astana, Kazakhstan pada 2010.
* OMI ke-52 akan diselenggarakan di , Belanda pada 2011.

Langganan: Postingan (Atom)

Segi empat sama ajaib

Dalam matematik rekreasi, sebuah segi empat sama ajaib pada aturan n adalah suatu urutan bilangan n², biasanya integer berlainan, dalam sebuah segi empat sama, seperti mana yang bilangan n dalam semua barisan, semua column, dan kedua jumlah diagonal ke konstan sama.^[1] Sebuah segiempat sama ajaib biasa mengandungi integer dari 1 ke n². Istilah "segiempat sama ajaib" juga kadang-kadang digunakan untuk merujukkan pada mana-mana jenis pelbagai segi empat sama kata.

Segiempat sama ajaib bermuncul untuk semua aturan n ≥ 1 kecuali n = 2, walaupun kesnya n = 1 adalah trivial—ia mengandungi suatu sel tunggal yang mengandungi nombor 1. Kes bukan-trivial terkecil, ditunjuk di bawah, adalah aturan 3.

Jumlah konstant dalam setiap row, column dan diagonal digelar konstan ajaib atau jumlah ajaib, M. Konstan ajaib pada segiempat sama ajaib terpulang hanya pada n dan mempunyai nilai

$M(n) = \frac{n^3+n}{2}.$

Untuk segiempat sama ajaib biasa pada aturan n = 3, 4, 5, …, konstant ajaibnya adalah:

15, 34, 65, 111, 175, 260, …

Sejarah segiempat sama ajaib

Sasatera China melatar belakang seawal 650 SM menceritakan lagenda Lo Shu atau "scroll dari sungai Lo".^[2] Di China silam, ada suatu banjir yang besar. Rakyatnya cuba untuk memberikan pengorbanan ke dewa sungai pada salah satu sungai banjir, sungai Lo, untuk menyenangkan kemarahannya. Kemudian, di situ bermuncul dari seekor kura-kura dengan suatu angka/corak pada kulitnya; ada titik-titik bulat bilangan yang diatur dalam suatu corak petak sembilan tiga seperti mana jumlah bilangan dalam setiap baris, lajur dan diagonal yang sama; 15. Nombor ini juga sama dengan bilangan hari setiap 24 kitaran tahun matahari China. Corak ini, dalam sesetengah cara, telah digunakan oleh orang-orang yang mengawal sungai itu.

4	9	2
3	5	7
8	1	6

The Lo Shu Square, as the magic square on the turtle shell is called, is the unique normal magic square of order three in which 1 is at the bottom and 2 is in the upper right corner. Every normal magic square of order three is obtained from the Lo Shu by rotation or reflection.

The Square of Lo Shu is also referred to as the Magic Square of Saturn or Cronos. Its numerical value is obtained from the workings of the I Ching when the Trigrams are placed in an order given in the first river map, the Ho Tu or Yellow River. The Ho Tu produces 4 squares of Hexagrams 8 x 8 in its outer values of 1 to 6, 2 to 7, 3 to 8, and 4 to 9, and these outer squares can then be symmetrically added together to give an inner central square of 5 to 10. The central values of the Ho Tu are those of the Lo Shu (so they work together), since in the total value of 15 x 2 (light and dark) is found the number of years in the cycle of equinoctial precession (12,960 x 2 = 25,920). The Ho Tu produces a total of 40 light and 40 dark numbers called the days and nights (the alternations of light and dark), and a total of 8 x 8 x 8 Hexagrams whose opposite symmetrical addition equals 8640, therefore each value of a square is called a season as it equals 2160. 8640 is the number of hours in a 360-day year, and 2160 years equals an aeon (12 aeons = 25,920 yrs).

To validate the values contained in the 2 river maps (Ho Tu and Lo Shu) the I Ching provides numbers of Heaven and Earth that are the 'Original Trigrams' (father and mother) from 1 to 10. Heaven or a Trigram with all unbroken lines (light lines - yang) have odd numbers 1,3,5,7,9, and Earth a Trigram with all broken lines have even numbers 2,4,6,8,10. If each of the Trigram's lines is given a value by multiplying the numbers of Heaven and Earth, then the value of each line in Heaven 1 would be 1 + 2 + 3 = 6, and its partner in the Ho Tu of Earth 6 would be 6 + 12 + 18 = 36, these 2 'Original Trigrams' thereby produce 6 more Trigrams (or children in all their combinations) -- and when the sequences of Trigrams are placed at right angles to each other they produce an 8 x 8 square of Hexagrams (or cubes) that each have 6 lines of values. From this simple point the complex structure of the maths evolves as a hexadecimal progression, and it is the hexagon that is the link to the turtle or tortoise shell. In Chinese texts of the I Ching the moon is symbolic of water (darkness) whose transformations or changes create the light or fire - the dark value 6 creates the light when its number is increased by 1. This same principle can be found in ancient calendars such as the Egyptian, as the 360 day year of 8640 hrs was divided by 72 to produce the 5 extra days or 120 hours on which the gods were born. It takes 72 years for the heavens to move 1 degree through its Precession.

Arabia

Segiempat sama ajaib dikenali pada ahli matematik Arab, mungkin seawal abad ke-7, apabila orang Arab berhubung dengan budaya India atau Asia Selatan, dan mempelajari matematik dan astronomi India, termasuk aspek-aspek matematik berkombinasi. Ia juga telah dicadangkan bahawa gagasan tiba melalui China. Segiempat sama ajaib pertama pada aturan 5 dan 6 bermuncul di sebuah ensiklopedia dari Baghdad sekitar 983 M, Rasa'il Ihkwan al-Safa (Ensiklopedia Brethern of Purity); segiempat sama ajaib yang lebih mudah dikenali pada beberapa ahli matematik awal Arab.^[2]

Ahli matematik Arab Ahmad al-Buni, yang bekerja pada segiempat sama ajaib sewaktu 1200 M, menganggap ciri-ciri mistikal pada mereka, walaupun tiada rinci pada ciri-ciri sepatutnya ini dikenali. Ada juga rujukan pada kegunaan segiempat sama ajaib pada pengiraan astrologi, suatu amalan yang kelihatan berasal dari orang Arab.^[2]

India

Segiempat sama ajaib 3x3 telah digunakan sebagai sebahagian dari upacara di India sejak zaman vedic, dan berlanjut untuk digunakan untuk sampai ia tidak layak digunakan lagi. Suatu segiempat sama ajaib yang terkenal di India dapat dilihat di Khajuraho di kuil Jain Parshvanath. Ia bermula dari abad ke-10 ^[3].

7	12	1	14
2	13	8	11
16	3	10	5
9	6	15	4

Ini dirujukkan sebagai Chautisa Yantra, sejak setiap sub-segi empat sama berjumlah ke 34.

The Sagrada Família magic square

A magic square on the Sagrada Família church façade.

The Passion façade of the Sagrada Família church in Barcelona, designed by sculptor Josep Subirachs, features a 4×4 magic square:

The magic constant of the square is 33, the age of Jesus at the time of the Passion. Structurally, it is very similar to the Melancholia magic square, but it has had the numbers in four of the cells reduced by 1.

1	14	14	4
11	7	6	9
8	10	10	5
13	2	3	15

While having the same pattern of summation, this is not a normal magic square as above, as two numbers (10 and 14) are duplicated and two (12 and 16) are absent, failing the 1→n² rule.